[Linear Algebra] Eigenvalue(고유값), Eigenvector(고유벡터)에 대하여

이번 포스팅에서는 Eigenvalue(고유값)와 Eigenvector(고유벡터)에 대해서 설명해보겠습니다.

학교에서는 단순히 시험치기 위해 구하는 방법만 외우고 지나갔던 기억이 있네요.. 선형대수는 기하학적 의미가 가장 중요한데 말이죠.

 

구하는 방법도 복습할 겸 정리하고, 그땐 그냥 넘어갔던 기하학적 의미도 챙겨 보도록 하겠습니다.

 

(오늘 갑자기 펜슬이 고장나서 손으로 써야합니다.. 글씨가 매우 더러울 예정 ㅜㅜ)

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고유값과 고유벡터란?

어떤 벡터에 행렬을 곱한 것과 어떤 다른 값을 곱한 결과가 같은 경우, 그 벡터를 고유벡터, 곱한 값을 고유값이라고 합니다.

 

좀 더 선형대수스럽게 말해볼까요?

 

고유벡터는 어떤 선형 변환(=행렬 곱)을 했을 때 방향은 바뀌지 않고 크기만 변하는 벡터입니다.
이때 그 벡터의 크기를 얼마나 늘리거나 줄이는지 알려주는 수가 바로 고유값입니다.

 

수식으로 쓰면 이렇습니다.

• $A$ : 선형 변환을 시켜주는 정사각행렬
• $x$ : 고유 벡터
• $λ$ : 고유값

즉, 행렬 $A$가 벡터 $x$를 변환했을 때 결과가 방향은 같고 크기만 λ배로 바뀐다는 뜻입니다.

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고유값과 고유벡터 계산 방법

위 식에서 A 행렬이 이렇게 생겼다고 쳐봅시다.

 

그러면 식은 이렇게 되겠죠.

 

오른쪽 항을 왼쪽으로 이항해봅시다.

 

이렇게 되겠네요.

 

근데 이 말은 뭐죠? 앞에 곱해진 행렬이 null space를 가진다는 뜻이 되겠군요.

null space를 가진다면, 행렬식은 0이 되겠죠.

 

그럼 이제 람다(고유값)를 쉽게 구할 수 있습니다.

 

반대로 고유값이 주어졌을 땐 행렬식을 구할 필요없이 전개만으로 쉽게 고유벡터를 구할 수 있겠습니다.

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고유값과 고유벡터의 기하학적 의미

먼저 이렇게 생긴 A 행렬이 있다고 해봅시다.

 

그리고 첫번째 열과 두번째 열에 해당하는 벡터를 a, b라고 해보겠습니다.

당연하게도 a, b 두 벡터로 구성된 행렬 A는 아래와 같이 공간을 비틀 수 있겠지요.

 

예를 들면, (1, 1) 좌표는 행렬 A에 의해 비틀린 공간에서 (4,2)로 매핑될 겁니다.

 

자 그럼 고유값과 고유벡터가 이것과 무슨 상관이 있느냐?

알아보기 위해 고유값과 고유벡터를 구해봅시다.

 

먼저 고유값을 구해보죠.

 

각 고유값에 대응되는 고유벡터도 구해줍시다.

 

이게 무슨 의미를 가질까요?

아까 A 행렬은 공간을 비튼다고 했었죠?

그러면 기존 공간에 있던 점들이 A 행렬로 인해 비틀린 공간으로 이동하게 될겁니다. 위에서 (1, 1) 좌표가 이동했던 것처럼요.

 

그런데 A에 의해 공간이 뒤틀려서 이동을 하기는 하는데, 일정한 규칙에 의해서 이동하는 좌표들이 존재합니다.

 바로 고유벡터가 이루는 수직선 위의 점들인데요, 한번 보시죠.

 

위 그림의 순서는 아래와 같습니다.

1) 고유벡터 $[1, 0]$이 이루는 수직선 위에 있는 (1, 0) 점을 기준으로 잡습니다.

2) 행렬 A로 공간을 뒤틀어 (1, 0)을 (3, 0)으로 이동시킵니다.

3) (3, 0)은 여전히 고유벡터 $[1, 0]$이 이루는 수직선 위에 있습니다.

4) (1, 0)에서 (3, 0)으로 정확히 3배(고유값 크기 만큼 배수)가 되었습니다.

 

 

당연히 고유벡터 $[1, -1]$ 수직선에 대해서도 동일하게 적용됩니다.

결론을 정리하자면, 고유벡터가 이루는 수직선 위의 점들은 A로 인해 좌표가 이동하더라도 수직선 위에서 이동하며, 이동 시 고유 값 크기 만큼 좌표가 곱해져서 이동합니다.